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数学归纳法是证明命题对所有正整数成立的一种重要技术。本文将介绍其两种主要形式，并通过实例展示其应用。
第一数学归纳法
第一数学归纳法通常分为三步：
归纳奠基：验证当n=1时命题成立。 归纳假设：假设当n=k时命题成立。 归纳递推：由归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。 通过这三步，可以证明命题对所有正整数n都成立。
第二数学归纳法（完整归纳法）
第二数学归纳法扩展了第一数学归纳法的应用范围：
归纳奠基：验证当n=1和n=2时命题成立。 归纳假设：假设当n≤k（k为正整数）时命题成立。 归纳递推：由归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。 通过这三步，可以证明命题对所有正整数n都成立。
例子：数列收敛问题
考虑数列{an}定义为：
- a1 = 1
- a_{n+1} + √(1 - an) = 0
证明{an}收敛，并求lim_{n→∞}an。
单调性证明
初始验证：
- a1 = 1 > a2 = 0，满足a1 > a2。
归纳假设：
归纳递推：
- 计算a_{k+1} = -√(1 - ak)。
- 由于ak < ak-1，√(1 - ak) < √(1 - ak-1)，因此a_{k+1} > a_k。
通过递推可知，数列{an}单调递减。
下界证明
初始验证：
- a1 = 1 > (-1 - √5)/2 ≈ -1.618。
归纳假设：
- 假设对于某个k，ak > (-1 - √5)/2。
归纳递推：
- 计算a_{k+1} = -√(1 - ak)。
- 由于ak > (-1 - √5)/2，1 - ak < (3 + √5)/2 ≈ 1.618。
- 因此，√(1 - ak) < √((3 + √5)/2) ≈ 1.272。
- 所以，a_{k+1} = -√(1 - ak) > (-1 - √5)/2。
通过递推可知，数列{an}下界为(-1 - √5)/2。
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